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钦定四库全书
数度衍附录
桐城方中通 撰
几何约
名目一
【名目二】
【名目三】
名目四
【名目五】
【名目六】
度说
设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等
有多度等若所加之度等则合并之度亦等
有多度等若所减之度等则所存之度亦等
有多度不等若所加之度等则合并之度不等
有多度不等若所减之度等则所存之度不等
有多度俱倍于此度则彼多度俱等
有多度俱半于此度则彼多度亦等
有二度自相合则二度必等以一度加一度之上也全大于其分如一尺大于一寸寸乃全尺十之一也
有几何度等若所加之度各不等则合并之差与所加之差等
有几何度不等若所加之度等则合并所赢之度与原所赢之度等
有几何度等若所减之度不等则余度所赢之度与减去所赢之度等
有几何度不等若所减之度等则余度所赢之度与原所赢之度等
全与诸分之并等
有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较亦倍于彼较如此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七
度各形之高皆以垂线之亘为度两形同在两平行线内其高必等凡度物高以顶底为界以垂线为度不论物之偏正也盖物之定度有一无二自顶至底垂线一而已偏线无数也
线说
有二横直线任加一纵线或正或偏若三线之间同方两角小于两直角则此二横直线愈长愈相近必至相遇如甲乙丙丁二横直线任意作戊巳线交于二横直线之上而戊巳线或正或偏若戊巳线旁同方两角俱小于直角或并之小于两直角则甲乙丙丁二线必有相遇之处
两直线不能为有界之形
两直线止能于一防相遇
凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距心逺近之度如甲乙丙丁圜内甲乙线丙丁线其去戊心逺近等因己戊戊庚两垂线等故也若辛壬线去戊心近矣因戊癸垂线小故也
凡一防至直线上惟垂线至近垂线之两旁渐逺平行方形不满一线为形小于线若形有余线不足为形大于线
角说
凡直角俱相等
直线上立垂线则两旁皆直角若立偏线则一为钝角
其一必为锐角如子丑线上甲乙
垂线也丙丁偏线也
比例说
比例者两几何以几何相比之理几两几何相比以此几何比他几何则此几何为前率所比之他几何为后率如以六尺之线比三尺之线则六尺为前率三尺为后率也反用之以三尺之线比六尺之线则三尺为前率六尺为后率也
凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合如二十尺之线比十尺之线是也其非数可明者为小合如直角方形之两边与其对角线可以相比而非数可明者是也其大合线为有两度之线其小合线为无两度之线
凡大合有二种有等者如二十比二十十比十是也有不等者如二十比十八比四十是也
凡等者为相同之比例其不等者又有二种有以大不等者如二十比十是也有以小不等者如十比二十是也
大合比例之以大不等者又有五种一为几倍大二为等带一分三为等带几分四为几倍大带一分五为几倍大带几分其一为几倍大者如二十与四是二十内为四者五如三十尺与五尺是三十尺内为五尺者六则二十与四名为五倍大之比例也三十尺与五尺名为六倍大之比例也其二为等带一分者如三与二是三内既有二别带一以为二之半如十二与九是十二内既有九别带三以为九之三分之一则三与二名为等带半也十二与九名为等带三分之一也其三为等带几分者如八与五是八内既有五别带三一每一各为五之分而三一不能合而为五之分也他如十与八其十内既有八别带二一虽每一各为八之分与前例相似而二一却能为八之四分之一是为带一分属在第二不属三也则八与五名为等带三分也又如二十二与十六即名为等带六分也其四为几倍大带一分者如九与四是九内既有二四别带一一为四之四分之一则九与四名为二倍大带四分之一也其五为几倍大带几分者如十一与三是十一内既有三三别带二一每一各为三之分而二一不能合而为三之分也则十一与三名为三倍大带二分也
大合比例之以小不等者亦有五种俱与右相反为名一为反几倍大二为反等带一分三为反等带几分四为反几倍大带一分五为反几倍大带几分凡诸数俱有书法有全数有分数全数依本数书之分数有二一为命分数一为得分数如分一以三而取其二则书为三分之二三为命分数二为得分数也其一几倍大以全数书之如二十与四为五倍大之比例即书五是也若反几倍大则用分数书之而以大比例之数为命分之数以一为得分之数如大为五倍大之比例则此书五之一是也其二等带一分之比例有全数有分数其全数恒为一其分数则以分率之数为命分数恒以一为得分数如三与二名为等带半即书一又二之一也若反等带一分则全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数加一为此之命分数如大为等带二之一即此书三之二也又如等带八分之一反书之即书九之八也其三等带几分之比例亦有全数有分数其全数亦恒为一其分数亦以分率之数为命分数以所分之数为得分数如十与七名为等带三分即书一又七之三也若反等带几分亦全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数如大之得分数为此之命分数如大为等带七之三命数七得数三七加三为十即书十之七也又如等带二十之三反书之二十加三即书二十三之二十也其四几倍大带一分之比例则以几倍大之数为全数以分率之数为命分数恒以一为得分数如二十二与七二十二内既有三七别带一一为七分之一名为三倍大带七分之一即以三为全数七为命分数一为得分数书三又七之一也若反几倍大带一分则大比例之命分数为此之得分数以大之命分数乗大之倍数加一为此之命分数如大为三带七之一即以七乗三得二十一又加一为命分数书二十二之七也又如五带九之一反书之九乗五得四十五加一为四十六即书四十六之九也其五几倍大带几分之比例亦以几倍大之数为全数以分率之数为命分数以所分之数为得分数如二十九与八二十九内既有三八别带五一名为三倍大带五分即以三为全数八为命分数五为得分数书三又八之五也若反几倍大带几分则以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数乗大倍数加大之得分数为此之命分数如大为三带八之五即以八乗三得二十四加五为二十九书二十九之八也又如四带五之二即书二十二之五也通曰右皆化整为零之法也法详奇零
两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身即大于八尺之线是为有比例之线也又如直角方形之一边与其对角线虽非大合之比例可以数明而直角方形之一边一倍之即大于对角线是亦有小合比例之线也又圜之径四倍之即大于圜之界则径与界亦有小合比例之线也又曲线与直线亦有比例如以大小两曲线相合为初月形别作一直角方形与之等即曲线直线两视有大有小亦有比例也又方形与圜不能为等形然相视有大有小亦不可谓无比例也又直线角与曲线
角亦有比例如上图直
角钝角锐角皆有与曲
线角等者如甲乙丙直
角在甲乙乙丙两直线内而其间设有甲乙丁与丙乙戊两圜分角等即于甲乙丁角加甲乙戊角则丁乙戊曲线角与甲乙丙直角等矣因知壬庚癸曲线角与己庚辛钝角等也又知卯丑辰曲线角与子丑寅锐角各减同用之子丑丑辰内圜小分即两角亦等也他若有穷之线与无穷之线虽则同类实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之线也又线与面面与体及切圜角与直线锐角皆无比例也
四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第一第三之几倍偕第二第四之几倍其相视或等或俱为大俱为小恒如是如有四几何第一曰三第二曰二第三曰六第四曰四今以第一之三第三之六同加四倍为十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍为十四为二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四则倍第三之二十四必小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍为十八为三十六次以第二之二第四之四同加四倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八则倍第三之三十六必等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为八其倍第一之九既大于倍第二之四则倍第三之十八必大于倍第四之八也乃知三与二偕六与四得为同理之比例也此断比例之法若连比例则以中率两用之既为第二又为第三也若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第三与四之比例矣
三几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例四几何为同理之连比例则第一与四为三加之比例仿此以至无穷如甲与乙若乙与丙乙与丙若丙与丁丙与丁若丁与戊五几何为同理之连比例其一甲与三丙为
再加之比例其一甲与四丁为三加之比例其一甲与五戊为四加之比例若反用之以戊为首则一戊与三丙为再加与四乙为三加与五甲为四加也再以数明之如此直角方形之边三尺彼直角方形之边一尺若九与一夫九与一之间有三为同理之连比例则此九三一之三数既有三与一为比例又以九比三三比一为再加之比例也故彼直角方形当为此形九分之一不止为此形三分之一也大约第一与二之比例若线相比第一与三若平面相比第一与四若体相比第一与五若少广之三乗方与六则若四乗方与七则若五乗方也
同理之几何前与前相当后与后相当
比例以比例相结者以多比例之命数相乗除而结为一比例之命数盖中率相结者于不同理之中求其同
理也如十二倍
之此比例则以
彼二倍六倍两
比例相结也二
六相乗为十二故也或以彼三倍四倍两比例相结三四相乗亦十二故也又如三十倍之此比例则以彼二倍三倍五倍三比例相结也二乗三为六六乗五为三十故也大约以三率为始三率则两比例相乗除而中
率为纽也若四率则先以前
三率之两比例相乗除而结
为一比例又以此与第三比
例相乗除而总结为一比例也若五率则先以前三率之两比例乗除相结又以此与第三比例乘除相结又以此与第四比例乗除相结而为一比例也或如下图亦可
三几何为二比例不同理而合为一比例则以第一与二第二与三两比例相结也如第一图三几何二比例皆以大不等者其甲乙与丙丁为二倍大丙丁与戊己为三倍大则甲乙与戊己为六倍大二乗三为六也若以小不等戊己为第一甲乙为第三三乗二亦六则戊己与甲乙为反六倍大也又
如次图前以大不等后以小不等者中率小于前后两率也其甲乙与丙丁为三倍大丙丁与戊己为反二倍大则甲乙与戊己为等带半三乗半得等带半也若以戊己为第一甲乙为第三反
推之半除三为反等带半也又如末图前以小不等后以大不等者中率大于前后两率也其甲乙与丙丁为反二倍大丙丁与戊己为等
带三分之一即甲乙与戊己为反等带半何者如甲乙二即丙丁当四丙丁四即戊己当三是甲乙二戊己当三也又法以命数三带得数一为四半除得二二比三为反等带半也若戊己为首则为等帯半矣
若多几何各带分而多寡不等者当用通分法如设前比例为反五倍带三之二后比例为二倍大带八之一即以前命数三通其五倍为十五得分数从之为十七是前比例为三与十七也以后命数八通其二倍为十六得分数从之为十七是后比例为十七与八也即首尾二几何之比例为三与八得二倍大带三之二也右说连比例之不同理者用中率以结矣若不同理之断比例异中率而无可结者当于其所设几何之外别立三几何二比例而同中率者乗除相结即得如所设几何十六为首十二为尾却云十六与十二之比例若
八与三及二与四之比例八为前之
前四为后之后三为前之后二为后
之前此二比例无可结乃别立同中率之二比例如其八与三二与四之比例如三其八得二十四为前之前三其三得九为前之后即以九为后之前又求得十八为后之后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四也则十六与十二若二十四与十八俱为等带半之比例矣
通曰十六内去十二余四为十二三之一当曰等带三之一也
论三角形
一于有界直线上求立平边三角形如甲乙线先以甲为心乙为界作丙乙丁圜次以乙为心甲为界作丙甲丁圜两圜相交于丙于丁末自甲至丙丙至乙各作直线即成甲乙丙平边三
角形
二一直线线或内或外有一防求以防为界作直线与元线等如甲防乙丙线先以丙为心乙为界作丙乙圜
次观甲防若在丙乙外则自
甲至丙作线如上图或在丙
乙内则截取甲至丙一分线
如下图俱以甲丙为底作甲丁丙平边三角形次引丁丙至丙乙圜界为丙戊引丁甲出丙乙圜外至己为甲己乃以丁为心戊为界作丁戊圜其甲己线与丁戊圜相交于庚即甲庚线与乙丙线等
三两直线一长一短求于长线减去短线之度如甲短线乙丙长线先引乙至别界作乙丁线与甲等乃以乙为心丁为界作圜交乙丙线于戊
则戊丙为余也
四两三角形若两腰线各等各两腰间之角等则底必等
五三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底外两角必等
六三角形若底线两端之两角等则两腰必等
七一线为底出两腰线其相遇止一防不得别有腰线与元腰线等如甲乙底于甲于乙各出一线至丙相遇此一定之处也若至丁则不与元
腰线甲丙等矣
八两三角形若两腰两底俱等则两腰间角必等九有直线角求两平分如乙甲丙角先于甲乙线任截一分为甲丁亦截甲戊与甲丁等作丁戊直线次以丁戊为底倒立丁戊己平边三角形
再作甲己直线即得
通曰乙丙底作甲己垂线亦得
十有界线求两平分如右图乙丙线以乙丙为底作甲乙丙两边等三角形两平分之得甲己直线即分乙丙线于己
十一一直线任于一防上求作垂线如甲乙线上任指一防于丙先于丙之左右各截一界为丁为戊次以丁戊为底作丁己戊两边等角形再作己
丙直线即己丙为甲乙之垂线若欲于甲防立垂线则任取丙防立丁丙垂线乃以甲丙丁角平分得丙己线次以甲丙为度截戊丙又于戊上立垂
线与己丙线相遇于庚再作庚甲直线即得
十二无界直线外有一防求于防上作垂线至直线上如甲乙线外有丙防先以丙为心作圜令两交于甲乙线为丁为戊次从丁戊各作直线至丙
又两平分丁戊线于己作丙己线即甲乙之垂线也又法于甲乙线上近甲近乙任取一防为心以丙为界作一圜界于丙防及相望
处各稍引长之次于甲乙线上视前心或相望如上图或进或退如下图任移一防为心以丙为界作一圜界交处得丁乃作丙丁垂线
十三一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角如甲线下至丙丁线遇于乙其甲乙丙钝角与甲乙丁锐角相并必等于戊乙丙戊乙丁
两直角
十四一直线于线上一防出不同方两直线偕元线毎旁作两角若每旁两角与两直角等即后出两线为一直线如甲乙线于丙防左出丙丁线右
出丙戊线若甲丙戊甲丙丁两角与两直角等则丁丙丙戊必成丁戊一直线
十五凡两直线相交作四角每两交角必等如甲乙与丙丁两线相交于戊则甲戊丙角与丁戊乙角必等甲戊丁角与丙戊乙角必等
十六凡三角形之外角必大于相对之各角如甲乙丙角形引乙甲至丁则外角丁甲丙必大于相对之内角甲乙丙甲丙乙引丙甲至戊其外角戊甲乙亦大
通曰此不论乙甲丙角也葢有时丁甲丙角反
小于乙甲丙角故不论
十七凡三角形之每两角必小于两直角如甲乙丙角形甲乙丙甲丙乙两角并小于戊乙丁戊乙丙两直角丙甲乙甲乙丙两角亦小甲丙乙丙甲
乙两角亦小
十八凡三角形大边对大角小边对小角如甲乙丙角形甲乙边大于甲丙丙乙两边则甲乙边所对之甲丙乙角必大甲丙边所对之乙角乙丙边
所对之甲角皆小
十九凡三角形大角对大边小角对小边
二十凡三角形之两边并之必大于一边
二十一凡三角形于一边之两界出两线作小三角形于内则内形两腰并必小于外相对两腰而内所作角必大于外相对角如甲乙丙角形于乙
丙边之两界作丁乙丙小角形则丁丙丁乙两线并必小于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙
角
二十二三直线求作三角形其每两线并大于一线如甲乙丙三边先任作丁戊线长于三线并次以甲为度截丁己以乙为度截己庚以丙为度截庚辛乃以己为心丁为界作丁壬癸圜
以庚为心辛为界作辛壬癸圜两圜相遇于壬于癸再以庚己为底作癸庚癸己两直线即得己癸庚三角形若两线并与其一线或等或小即不能成三角形也
通曰若庚防在丁壬圜内及庚防虽在
丁壬圜外而两圜不交皆不能成三角形也
二十三一直线任于一防上求作一角与所设角等如
甲乙线与设丁戊己角先于戊丁任
取庚防于戊己任取辛防作庚辛线
次将甲乙线依庚戊戊辛辛庚度用右法作壬丙癸角形与丁戊角等
通曰壬丙等庚戊丙癸等戊辛癸壬等辛庚即右之甲乙丙三线也
二十四两三角形相当两腰各等若一形腰间角大则底亦大如甲乙甲丙两腰与丁戊丁己两腰左右各等若甲角大于丁角其乙丙底必大于戊己底
二十五两三角形相当两腰各等若一形底大则腰间角亦大
二十六两三角形相当之两角等及相当之一边等则余两边必等余一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对
二十七两直线有他直线交加其上若相对内两角等则两直线必平行如甲乙丙丁两线加戊己线交于庚辛而甲庚辛角与丁辛庚角等则甲乙丙丁两线必平行
二十八两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等其两直线必平行如甲乙丙丁两线加戊己线
交于庚辛其戊庚甲外角与庚辛丙内角等或甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等则甲乙丙丁两线必平行二十九两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等
三十两直线与他直线平行则元两线亦平行【此论同面不同面线后别有论】如甲乙丙丁两线与戊己平行则甲乙
与丙丁亦平行
三十一一防上求作直线与所设直线平行如甲防与乙丙线先从甲向乙丙线任指丁防作甲丁线成甲丁乙角次于甲作戊甲丁角与甲丁乙角
等再引戊甲至己则己戊线与乙丙平行又法作甲丁线以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于戊己乃取戊己为度截取庚辛再作甲辛线各引长之即得用法设丙角甲乙两线求作有法四边形先作丁己庚角与丙角等次截己庚与甲等丁己与乙等再依丁己平
行作戊庚己庚平行作丁戊即得
三十二凡三角形之外角与相对之内两角并等三角形之内三角并与两直角等如甲乙丙角形引乙丙至丁则甲丙丁外角与内甲乙两角并等
又甲乙丙三角并如甲丙丁角既等于甲乙两角又加丙甲岂不与戊丙乙戊丙丁两直角等乎从此推之如后图甲当两直角乙当四直角丙当六直角
丁当八直角自此可至无穷其多
边求当几直角者以其所有之边内减二倍其余即得如丁形六边减二存四倍八故知当八直角也 凡诸种角形之三角并俱相等 凡两腰等角形若腰间直角则余两角每当直角之半腰间钝角则余两角俱小于半直角腰间锐角则余两角俱大于半直角 平边角形每角当直角三分之二 平边角形若从一角向对边作垂线分为两角形此分形各有一直角在垂线下两旁则垂线上两旁角毎当直角三分之一其余两角每当直角三分之二
三十三两平行相等线之界有两线聫之其两线亦平行亦相等如甲丙乙丁两平行相等线有甲乙丙丁两线聫之则甲乙丙丁亦平行相等线
三十四凡平行线方形毎相对两边线各等每相对两角各等对角线分本形两平分
三十五两平行方形若同在平行线内又同底则两形等如甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲丙
丁乙己两平行方形同丙丁底则此二形等或戊己同防其甲戊丁丙戊乙丁丙两形亦等或己在戊外其丙丁戊甲丙丁乙己两
形亦等此言形等者非腰等角等乃所函之地等也后言形等者仿此
三十六两平行线内有两平行方形若底等则形亦等三十七两平行线内有两三角形若同底则两形必等如甲乙丙丁两平行线内有甲丙丁乙丙丁两三角形
同丙丁底则两形等
三十八两平行线内有两三角形若底等则两形必等又凡角形任于一边任作一防求从防分本形为两平分如取丁防先向甲角作直线次平分
乙丙于戊作戊己线与甲丁平行末作己丁直线即分本形为两平分
三十九两三角形其底同其形等必在两平行线内如甲乙丙形与丁丙乙形同乙丙底而两形复等则自丁
至甲作直线必与乙丙平行
四十两三角形其底等其形等必在两平行线内四十一两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍大于三角形如甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊丁方形乙丁丙三角形同丙丁底则
方形必倍大于角形
四十二有三角形求作平行方形与之等而方形角与所设角等如甲乙丙角形先两平分乙丙边于戊作丙戊己角与所设丁角等次自甲作直线与乙丙平行而遇戊己线于己末自丙作直线与戊己
平行为丙庚得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等四十三凡方形对角线旁两余方形自相等如甲乙丙丁方形有甲丙对角线则两旁之乙壬庚戊与庚己丁辛两形必等
四十四一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角有与所设角等如甲线乙角形丙角先作丁戊己庚平行方形与乙角形等而戊己庚角与丙角等次引庚己至辛作己辛线与甲线等次作辛壬线与戊己平行又引丁戊至壬次自壬至己作对角线引出至癸又引丁
庚至癸相遇再作癸子线与庚辛平行又引壬辛至子引戊己至丑得巳丑子辛平行方形如求与乙角形等四十五有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有与所设角等如甲乙丙五边形丁角先分五边形为甲乙丙三其三角形次作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角次于戊
辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形与乙等又引前线作壬癸子丑平行方形与丙等并为戊己子丑平行方形与五边形等而有丁角
又甲与乙两直线形不等甲大乙小以乙减甲求较几何先任作丁丙己戊平行方
形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁丙辛庚平行方形与乙等得辛庚戊己平行方形为相减之较矣四十六一直线上求立直角方形如丙丁线上两界各立垂线甲丙乙丁与丙丁等再作甲乙线即得
四十七凡三边直角形对直角边上所作直角方形与余两边上所作两直角方形并等如甲乙丙角形甲为直角对甲之乙丙边上作子直角
方形与甲丙甲乙两边所作丑寅两直角方形并等通曰此?幂内有勾股二幂也乙丙?也
又凡直角方形之对角线如甲丙则甲丙线上
所作直角方形必倍大于甲乙丙丁形
又设不等两直角方形一以甲为边一以乙为边求别作两直角方形自相等并之又与
元设两形并等先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直角而丙丁与乙等作戊丁线相聫再于丁戊两角各作一角皆半于直角者为己戊己丁相等而遇于己则己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙戊丙丁两线上所作两直角方形并等其曰半直角者己戊丁半于庚戊丁己丁戊半于辛丁戊也
又多直角方形求并作一直角方形
与之等如五直角方形以甲乙丙丁
戊为边先作己庚辛直角而己庚线
与甲等庚辛线与乙等次作己辛线即作己辛壬直角而壬辛与丙等次作壬己线即作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线即作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线于此线上作直角方形如求
四十八凡三角形之一边上所作直角方形与余边所作两直角方形并等则对一边之角必直角
论线
一两直线任以一线任分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内直角形并等如甲乙乙丙两线以乙丙三分之为乙庚庚戊戊丙则甲乙偕乙丙之矩线内直角形与甲乙偕乙
庚甲乙偕庚戊甲乙偕戊丙三矩线内直角形并等二一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内直角形并必等如甲乙线任两分于丙则甲乙上直角方形与甲乙偕甲丙甲乙
偕丙乙两矩线内直角形并等
三一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分余线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等如甲乙线分于丙甲乙偕甲丙矩内直角形与分余丙乙偕甲丙矩内直角形及甲丙上直角方形并必等或如后图甲乙偕丙乙矩内直角形与分余甲丙偕丙乙矩内直角形及
丙乙上直角方形并亦等
四一直线任两分之其元线上直角方形与各分上两直角方形及两分互偕矩线内直角形并等如甲乙线分于丙甲乙线上直角方形与甲
丙丙乙线上两直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙
[子部,天文算法类,算书之属,数度衍,附録 几何约]甲丙上及分内线丙丁上两直角方形相并成庚辛丁磬折形盖子与子等丑寅与丑寅等卯辰与卯辰等故也
十一直线两平分之又任引增一线共为一全线其全线上及引増线上两直角方形并倍大于平分半线上及分余半线偕引增线上两直角方形并
通曰如甲乙线平分于丙又任引增为乙丁则甲丁线上直角方形如丁戊者与乙丁线上直角方形如乙己者相并成戊己乙磬折形倍大于甲丙线上直角方形如甲庚者与丙丁线上直角方形如辛丙者相并成辛庚甲磬折形盖子丑与子丑等寅卯与寅卯等故也
十一 一直线求两分之而元线偕初分线矩内直角形与分余线上直角方形等如甲乙线先作甲丙直角方形次以甲丁平分于戊作戊乙线
从戊甲引至己令戊己与戊乙等乃于甲乙线截取甲庚与甲己等则甲乙偕庚乙矩线内直角形与甲庚上直角方形等
十二三边钝角形之对钝角边上直角方形大于余边上两直角方形并之较为钝角旁任用一边偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内直角形二如甲乙丙形乙为钝角从余角如甲下一垂线与钝角旁一边如丙乙引长之遇于丁为直角则对钝角之甲丙边上直角方形大于甲乙乙丙边上两
直角方形并之较为丙乙偕乙丁矩内直角形二反说之则甲乙乙丙上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二相并与甲丙上直角方形等
十三三边锐角形之对锐角边上直角方形小于余边上两直角方形并之较为锐角旁任用一边偕其对角所下垂线旁之近锐角分线矩内直角形二如甲乙丙三边锐角形从一角如甲向对边乙丙下一垂线分乙丙于丁则甲丙乙锐角
之相对甲乙边上直角方形小于乙丙甲丙边上两直角方形并之较为乙丙偕丁丙矩线内直角形二反说之则乙丙甲丙上两直角方形并与甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩线内直角形二并等
十四有直线形求作直角方形与之等如甲无法四边形先作乙丁形与之等而直角次任用一边引长之如丁丙引至己而丙己与乙丙等次以丁己两平分于庚其庚防若在丙即乙丁是直角方形与甲等矣若庚防在
丙外则以庚为心丁己为界作丁辛己半圜再从乙丙线引长之遇圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等又直角方形之对角线所长于本形边之较为甲乙而求本形边先于甲乙上作甲丙直
角方形次作乙丁对角线又引长之为丁戊线而丁戊与甲丁等即得乙戊线如求
论圜
一有圜求防其心如甲乙丙丁圜先于圜之两界任作一甲丙直线次两平分于戊再于戊上作乙丁垂线两平分于己己即圜心因显圜内有直线
分他线为两平分而作直角即圜心在其内
二圜界任取二防以直线相聨则直线全在圜内三直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分如乙丙丁圜有丙戊线过甲心分乙丁线为两平分则己旁必两直角
甲己为垂线故也
四圜内不过心两直线相交不得俱为两平分如甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两直线俱不过己心而交于戊若甲乙为两平分则丁丙不得两平分
若一过心一不过心即两线亦不得俱为两平分五两圜相交必有同心
六两圜内相切必不同心
七圜径离心任取一防从防至圜界任出几线其过心最大不过心最小余线愈近心者愈大愈近不过心者愈小诸线中止两线等如甲丙丁戊乙圜其径甲乙其心己离心任取一防为庚从庚至圜界
任出几线为庚丙庚丁庚戊庚乙庚甲惟过心庚甲最大不过心庚乙最小庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊而庚乙两旁止可出两线等如庚辛等庚戊庚壬等庚丁也
八圜外任取一防从防任出几线其至规内则过圜心线最大余线愈离心愈小其至规外则过圜心线为径之余者最小余线愈近径余愈小而诸线中止两线等
如乙己壬圜之外从甲防任出几
线其一为过癸心之甲壬其余为
甲辛甲庚甲己皆至规内则过心
之甲壬最大近心之甲辛大于甲
庚甲己最小规外之甲乙为乙壬径余者最小近径余之甲丙小于甲丁甲戊为大矣甲乙丙旁止可出两线等如甲子等甲丙也
九圜内从一防至界作三线以上皆等即此防必圜心如从甲防至乙丙丁作三线为甲乙甲丙甲丁若三线等则甲防必圜心
十两圜相交止于两防
十一两圜内相切作直线聫两心引出之必至切界如甲乙丙甲丁戊两圜内切于甲己为甲乙丙之心庚为甲丁戊之心作己庚直线聫两心又引
己至圜界必至相切之甲防
十二两圜外相切以直线聫两心必过切界如甲乙两圜外切于丁甲心为丙乙心为戊作丙戊直线聫之必过丁界
十三圜相切不论内外止于一防
十四圜内两直线等即距心之逺近等距心逺近等即两直线等如甲乙丙丁圜心戊圜内甲乙丁丙两线等则庚戊己戊逺近必等
十五径为圜内之大线其余线近心大于逺心
十六圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线锐角切边角小于各直线锐角如甲丙径末之甲戊垂线全在圜外戊甲垂线偕乙甲圜
界所作切边角不得更作一直线入其内丙甲线偕乙甲圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线锐角而戊甲线偕乙甲圜界所作切边角小于各直线锐角又有两种几何一大一小以小率半増之递增至于无穷以大率半减之递减至于无穷其元大者恒大元小者恒小
如后图直线切圜之戊甲乙切边角
为小率壬庚辛直线锐角为大率今
别作甲丙甲丁各圜俱切戊己线于
甲其切边角愈增愈大别以庚癸庚子线作角分壬庚辛角于庚愈分愈小恒大恒小终不得相比
又甲丙径甲不动引丙线向己渐移其所经乙丁戊中间无数凡割圜皆为锐角即小于半圜
分角才离锐角便为直角即大于半圜分角是所经无数线终无有相等线也又直线锐角皆小于半圜分角直角钝角皆大于半圜分角是大小终无等也
十七设一防一圜求从防作切线如甲防与乙丙圜其圜心丁先从甲作甲丁直线截圜于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜乃作甲丁之垂线为乙戊遇甲戊圜于戊又作戊丁直线截乙丙圜于丙再作甲丙直线即切乙丙圜于丙也
十八直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线
十九直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线之内
二十负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角如甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底
则乙丁丙角倍大于乙甲丙角
又乙丁丁丙不作角于心或如上图为半圜或如下图为小半圜则丁心外余
地为乙丁戊戊丁丙两角倍大于同乙丁丙之底负圜角为乙甲丙角也
二十一凡同圜分内所作负圜角俱等如丁甲乙丙圜
分内不论此为大分小分函心不函
心但分内任作丁甲丙丁乙丙两角
必等
二十二圜内切界四边形每相对两角并与两直角等如圜心为戊圜内有甲乙丙丁四边形则甲乙丙丙丁甲两角并或乙丙丁丁
甲乙两角并与两直角必等
二十三一直线上作两圜分不得相似而不相等二十四相等两直线上作相似两圜分必等如甲乙丁戊两等直线上作甲丙乙丁己戊两相似
圜分必等
二十五有圜之分求成圜如甲乙丙圜分先作甲丙线
次作乙丁为甲丙之垂线丁即分甲
丙为两平分次作甲乙线须视丁乙
甲角或大于丁甲乙角或小或等若大则甲乙丙当为圜小分也即作乙甲戊角与丁乙甲角等次引乙丁至戊戊即圜心若丁乙甲角小于丁甲乙角则甲乙丙当为圜大分也即作乙甲戊角与丁乙甲角等戊即圜心若乙甲两角正等则甲乙丙当为半圜分丁即圜心矣又法于甲乙丙圜分任取三防于甲于乙于丙以两直线聫之各两平分于丁于戊从丁从戊作甲乙乙丙之各垂线为己丁为己戊而相遇于己即己为圜心又法任取四防为甲为乙为丙为丁每两防各自为心相向各任作圜分四圜分两相交于戊于己于庚于辛从戊己从庚辛各作
直线引长之交于壬即壬为圜心
二十六等圜之乗圜分角或在心或在界等其所乗之圜分亦等如在心者为甲庚丙丁辛己两角等在界者为甲乙丙丁戊己两角
等其甲丙丁己两圜分必等
二十七等圜之角所乗圜分等则其角或在心在界俱等此反前题也如甲丁乙丙两直线在一圜内而不相交其相去之甲乙丁丙两圜分等则两
线必平行
二十八等圜内之直线等则其割本圜之分大与大小与小各等
二十九等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等三十有圜之分求两平分之如甲乙丙圜分先作甲丙线次两平分于丁作乙丁线为甲丙之垂线即分甲乙丙圜为两平分
三十一负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角如甲乙戊丙圜其心丁径甲丙于半圜分内任作甲乙丙角负半圜分乙甲丙角负乙甲丙大
分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分则负半圜之甲乙丙为直角负大分之乙甲丙为锐角负小分之乙戊丙为钝角丙乙甲大圜分角大于直角丙乙戊小圜分角小于直角
又凡角形之内一角与两角并等其一角必直角何者其外角与内相对之两角等则与外角等之内交角岂非直角
三十二直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等如甲乙线切圜于丙从丙任作丙戊直线不论过己心与不过己心
割圜两分两分内任作丙丁戊丙庚戊两负圜角则甲丙戊角与丙庚戊角等乙丙戊角与丙丁戊角等通曰割线正则左与左等右与右等割线偏则左与右等右与左等盖切线在外割线在内故也
三十三一线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等如甲乙线丙直角先以甲乙两平分于丁以丁为心甲乙为界作半圜圜分内作甲戊乙角
即负半圜角为直角而与丙等若丙系锐角先于甲防上作... -->>
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